Wszyscy musieliście być w kinach, aby oglądać filmy z przyjaciółmi lub członkami rodziny. Czy podczas rezerwacji biletów zauważyłeś, w jaki sposób zwykle ustala się miejsca w kinie? Liczba miejsc w poprzednim rzędzie będzie zawsze mniejsza o określoną liczbę niż w następnym rzędzie.
To ustawienie miejsc siedzących jest zwykle w kolejności arytmetycznej. Można więc powiedzieć, że ciąg, który zmniejsza się lub zwiększa o stałą liczbę, jest znany jako ciąg arytmetyczny. Z drugiej strony ciąg geometryczny to coś zupełnie innego. Większość z was bawiła się jakimś rodzajem piłek w dzieciństwie.
Niezależnie od tego, czy używasz piłki nożnej, czy koszykówki, zauważysz, że wysokość, na której się odbija, zmniejsza się za każdym razem, gdy uderza o ziemię. Ten spadek wysokości odbicia jest w sekwencji geometrycznej.
Można zatem powiedzieć, że ciąg geometryczny jest w zasadzie ciągiem, w którym każdy wyraz mnoży się lub dzieli przez tę samą wartość od jednego określonego terminu do następnego. Wartość, przez którą termin dzieli lub mnoży, nazywana jest wspólnym stosunkiem.
Arytmetyka a sekwencja geometryczna
ten różnica między ciągiem arytmetycznym i geometrycznym jest to, że podczas gdy w ciągu arytmetycznym różnica między dwoma kolejnymi składnikami pozostaje stała, w ciągu geometrycznym stosunek między dwoma kolejnymi składnikami pozostaje stały.
Różnica między dwoma kolejnymi terminami w ciągu arytmetycznym nazywana jest różnicą wspólną. Z drugiej strony, stosunek dwóch kolejnych wyrazów w sekwencji geometrycznej jest określany jako stosunek wspólny.
Tabela porównawcza między ciągiem arytmetycznym i geometrycznym
| Parametr porównania | Ciąg arytmetyczny | Sekwencja geometryczna |
|---|---|---|
| Definicja | Jest to lista liczb, w której każdy nowy termin różni się od poprzedniego o określoną wielkość. | Jest to ciąg liczb, w którym każdy nowy wyraz jest obliczany przez pomnożenie przez niezerową i stałą liczbę. |
| Obliczone przez | Dodawanie lub odejmowanie | Mnożenie lub dzielenie |
| Zidentyfikowane przez | Stała różnica między 2 kolejnymi terminami. | Wspólny stosunek między 2 kolejnymi terminami. |
| Formularz | Forma liniowa | Forma wykładnicza |
Co to jest sekwencja arytmetyczna?
Kiedy mówisz o ciągu arytmetycznym lub postępie arytmetycznym, zasadniczo odnosi się to do ciągu różnych liczb, w którym różnica między 2 kolejnymi liczbami jest zawsze stała.
W tym typie ciągu różnica oznacza pierwszy wyraz odjęty od drugiego wyrazu. Jeśli weźmiesz pod uwagę ciąg taki jak 1, 4, 7, 10, 13… jest to ciąg arytmetyczny, w którym stała różnica wynosi 3.
Jak wszystko inne w matematyce, ciąg arytmetyczny również ma wzór. Wzór używany do znalezienia ciągu arytmetycznego to a, a+d, a+2d, a+3d i tak dalej. W tej formule „a” jest pierwszym terminem, a „d” jest wspólną różnicą między dwoma kolejnymi terminami.
Ważne jest, abyś wiedział, że zachowanie ciągu arytmetycznego zależy w dużej mierze od wspólnej różnicy. Jeśli wspólna różnica lub „d” we wzorze jest dodatnia, to warunki będą rosły w pozytywny sposób. Jeśli jednak wspólna różnica jest ujemna, warunki będą rosnąć w negatywny sposób.
Co to jest sekwencja geometryczna?
Sekwencja geometryczna lub postęp geometryczny w matematyce jest sekwencją różnych liczb, w której każdy nowy termin po poprzednim jest obliczany przez proste pomnożenie poprzedniego terminu przez wspólny stosunek. Ten wspólny stosunek jest liczbą stałą i niezerową. Na przykład sekwencja 3, 6, 12, 24 itd. jest sekwencją geometryczną ze wspólnym stosunkiem równym 2.
Sekwencja geometryczna również ma swój własny wzór. Postać normalna ciągu geometrycznego ma postać a, ar, ar², ar³, ar4 i tak dalej.
Gdy musisz znaleźć n-ty wyraz w dowolnym ciągu geometrycznym, użyj wzoru a = arn-1, gdzie zostanie podany wspólny stosunek „r” i wartość początkowa „a”. Istnieją pewne czynniki, o których należy pamiętać, jeśli chodzi o ciąg geometryczny. Jeżeli wspólny stosunek jest dodatni, warunki również będą dodatnie.
Jeśli jednak wspólny stosunek jest ujemny, warunki będą naprzemiennie między ujemnymi i dodatnimi. Jeśli wspólny stosunek jest większy niż 1, wzrost będzie miał postać wykładniczą w kierunku dodatniej lub nawet ujemnej nieskończoności. Jeśli wspólny stosunek wynosi 1, to progresja będzie ciągiem stałym.
Główne różnice między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym
Często zadawane pytania (FAQ) dotyczące sekwencji arytmetycznych i geometrycznych
Dlaczego nazywa się to sekwencją geometryczną?
Nazywa się to sekwencją geometryczną, ponieważ liczby przechodzą od jednej liczby do drugiej poprzez przeskakiwanie lub mnożenie przez podobną wartość.
Liczba podzielona lub pomnożona na każdym etapie szeregu, zwana wspólnym stosunkiem. Seria geometryczna to zestaw figur, które kierują się unikalną regułą wzoru.
Czy ciąg arytmetyczny może być również ciągiem geometrycznym?
W matematyce szereg arytmetyczny definiuje się jako ciąg, w którym wariancja między kolejnymi liczbami zwana różnicą wspólną jest stała.
Z drugiej strony szereg geometryczny to taki, w którym stosunek między kolejnymi liczbami, znany jako wspólny stosunek, jest stały. Oznacza to, że ciąg nie może być jednocześnie geometryczny i arytmetyczny.
Jaka jest formuła nieskończonej serii geometrycznej?
Nieskończona sekwencja geometryczna jest zdefiniowana jako całość nieskończonej sekwencji geometrycznej. Sekwencja nie ma ostatniej cyfry. Ten typ nieskończonej sekwencji obejmuje a1+a1r+a1r2 +a1r3+…. W tym przypadku a1 odnosi się do pierwszej cyfry, podczas gdy r odnosi się do wspólnego stosunku.
Obliczysz całkowitą sumę skończonego ciągu geometrycznego. W przypadku nieskończonego ciągu geometrycznego, gdy wspólny stosunek jest powyżej jedności, wyrazy w szeregu będą wzrastać, a po dodaniu większych liczb uzyskanie ostatecznej odpowiedzi będzie niemożliwe. Jedyną odpowiedzią byłaby nieskończoność.
Powiedzmy, że r (wspólny stosunek) leży między -1 a 1/. Możesz otrzymać sumę nieskończonego ciągu geometrycznego. Oznacza to, że suma istnieje dla r <1.
Suma nieskończonych szeregów geometrycznych, które mają -1<r<1 jest obliczana ze wzoru:S=a1/1-r
Co to jest A w ciągu arytmetycznym?
Ciąg arytmetyczny odnosi się do ciągu terminów w taki sposób, że różnica między dwoma kolejnymi uczestnikami ciągu jest wyrazem stałym, przy czym a w ciągu arytmetycznym jest wyrazem pierwszym.
Jak znaleźć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
Wiadomo, że terminy w szeregu arytmetycznym zwiększają się o wspólną różnicę (d). Na przykład 2, 4, 6, 8, 10 to ciąg arytmetyczny, a d=2.
Wzór na otrzymanie n-tego wyrazu tego ciągu arytmetycznego to 2n+1. Zazwyczaj n-ty wyraz ciągu arytmetycznego z 1-szym wyrazem i wspólną różnicą to a+ (n-1) d.
Wniosek
Z pomocą tej szczegółowej dyskusji na temat różnic między ciągiem arytmetycznym a ciągiem geometrycznym, powinieneś już to wyjaśnić. Jeśli uważasz, że te 2 sekwencje nie mają żadnych rzeczywistych zastosowań, powinieneś pomyśleć jeszcze raz. Oba mają swoje indywidualne zastosowania i znaczenie w różnych codziennych sytuacjach.
Sekwencje arytmetyczne są używane w różnych sektorach finansowych i mogą okazać się przydatne przy obliczaniu oszczędności i osobistych przyrostów finansowych. Jednak ciąg geometryczny ma również sprawiedliwy udział w zastosowaniach. Służy do obliczania stóp procentowych zapewnianych przez różne instytucje finansowe, a także do obliczania wzrostu populacji kraju.
Często widać, że uczniowie są zdezorientowani przy podejmowaniu decyzji, czy dana sekwencja jest ciągiem arytmetycznym, czy geometrycznym. Chociaż obliczenie ciągu arytmetycznego jest dość proste, głównym wyzwaniem jest obliczenie ciągu geometrycznego.
