Algebra wektorów jest integralną częścią fizyki i matematyki. Upraszcza obliczenia i pomaga w analizie różnorodnych koncepcji przestrzennych. Wektor to wielkość fizyczna, która ma zarówno wielkość, jak i kierunek. Jej odpowiednikiem jest wielkość skalarna, która ma tylko wielkość, ale nie ma kierunku.
Wektorem można manipulować za pomocą dwóch podstawowych operacji. Te operacje są iloczynem skalarnym i iloczynem krzyżowym i mają ogromne różnice.
Produkt kropkowy a produkt krzyżowy
Różnica między iloczynem skalarnym a iloczynem krzyżowym dwóch wektorów polega na tym, że wynik iloczynu skalarnego jest wielkością skalarną, podczas gdy wynikiem iloczynu skalarnego jest wielkość wektorowa.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest również nazywany iloczynem skalarnym. Jest to iloczyn wielkości dwóch wektorów i cosinusa kąta, który tworzą ze sobą.
Produkt krzyżowy dwóch wektorów jest również nazywany iloczynem wektorowym. Jest to iloczyn wielkości tych dwóch wektorów i sinusa kąta, jaki tworzą ze sobą.
Tabela porównawcza między iloczynem skalarnym a iloczynem krzyżowym (w formie tabelarycznej)
| Parametr porównania | Produkt w kropki | Produkt krzyżowy |
|---|---|---|
| Ogólna definicja | Iloczyn skalarny jest iloczynem wielkości wektorów i cos kąta między nimi. | Iloczyn krzyżowy jest iloczynem wielkości wektorów i sinusa kąta, pod którym leżą one względem siebie. |
| Relacja matematyczna | Iloczyn skalarny dwóch wektorów A i B jest reprezentowany jako: Α.Β = ΑΒ cos θ | Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów A i B jest reprezentowany jako: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Wynikowy | Wypadkowa iloczynu skalarnego wektorów jest wielkością skalarną. | Wypadkowa iloczynu krzyżowego wektorów jest wielkością wektorową. |
| Ortogonalność wektorów | Iloczyn skalarny wynosi zero, gdy wektory są ortogonalne (θ = 90°). | Iloczyn poprzeczny jest maksymalny, gdy wektory są ortogonalne (θ = 90°). |
| Przemienność | Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest zgodny z prawem przemienności: A. B = B. A | Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów nie jest zgodny z prawem przemienności: A × B ≠ B × A |
Co to jest produkt kropkowy?
Iloczyn skalarny lub skalarny dwóch wektorów jest iloczynem ich wielkości i cosinusa kąta leżącego naprzeciw jednego wektora nad drugim. Jest również nazywany produktem wewnętrznym lub produktem projekcyjnym.
Jest reprezentowany jako:
A·Β = |A| |B| bo
Wynik jest wielkością skalarną, więc ma tylko wielkość, ale nie ma kierunku.
Do obliczenia iloczynu skalarnego bierzemy cosinus kąta, tak aby wektory były wyrównane w tym samym kierunku. W ten sposób otrzymujemy rzut jednego wektora na drugi.
W przypadku wektorów o n wymiarach iloczyn skalarny jest wyrażony wzorem:
A·Β = Σ α¡b¡
Iloczyn skalarny ma następujące właściwości:
Α· b = b·α
Α· (b+c) = α·b + α·c
(λα) · (μb) = λμ (α· b)
Produkt kropkowy ma następujące zastosowania:
Służy do znajdowania rzutu punktu na płaszczyznę, gdy znane są jego współrzędne.
Co to jest produkt krzyżowy?
Iloczyn krzyżowy lub iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest iloczynem ich wielkości i sinusa kąta leżącego na drugim. Nazywany jest również produktem obszaru skierowanego.
Jest reprezentowany jako:
A×Β = |A| |B| grzech
Wynikiem jest kolejna wielkość wektora. Powstały wektor jest prostopadły do obu wektorów. Jej kierunek można określić za pomocą zasady prawej ręki.
Podczas obliczania iloczynu krzyżowego należy pamiętać o następujących zasadach:
Gdzie I, j i k są wektorami jednostkowymi odpowiednio w kierunku x, y i z.
Produkt krzyżowy ma następujące właściwości:
a× b = – (b × α)
a × (b+c) = α × b + α × c
(λα) × (b) = λ (α × b)
Produkt krzyżowy ma następujące zastosowania:
Główne różnice między iloczynem skalarnym a iloczynem krzyżowym
Iloczyn skalarny i iloczyn krzyżowy umożliwiają obliczenia w algebrze wektorowej. Mają różne zastosowania i różne zależności matematyczne.
Główne różnice między nimi to:
Wniosek
Algebra wektorowa jest bardzo przydatna w różnych przedmiotach matematycznych. Jego zastosowanie jest bardzo powszechne w geometrii i elektromagnetyce. Iloczyn skalarny i iloczyn poprzeczny wektorów to podstawowe operacje w algebrze wektorowej. Mają kilka zastosowań. Iloczyn skalarny oblicza wielkość skalarną. Ta wielkość to zazwyczaj odległość lub długość.
Iloczyn krzyżowy oblicza wielkość wektorową. Tak więc otrzymujemy inny wektor w przestrzeni. Na wektorach możemy wykonywać operacje takie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie są powszechnymi wektorami w fizyce.
Pojęcie wektora ewoluowało ponad 200 lat temu. Od tego czasu rozkwita dzięki wkładowi wielu matematyków i naukowców.
