Pochodne zawarte są w równaniach różniczkowych. Reprezentują tempo zmian zmiennych. Kiedy zmienia się zmienna niezależna, należy odnotować odpowiednią zmianę wytworzoną w zmiennej zależnej. Pochodne oznaczają tę szybkość zmian, badając nachylenie funkcji na wykresie.
Różnica a pochodna
Różnica między różniczką a pochodną jest pod względem funkcji, jaką każda z nich pełni, oraz wartości, które każda z nich reprezentuje. Różnice reprezentują najmniejsze różnice w wielkościach, które są zmienne jak powierzchnia ciała. Umożliwia obliczenie zależności między zmienną niezależną i zależną w równaniu.
Tabela porównawcza między różnicą a pochodną
| Parametry porównania | Różnice | Pochodne |
| Definicja | Różnice reprezentują najmniejsze różnice w ilościach, które są zmienne. | Pochodne reprezentują tempo zmian zmiennych w równaniu różniczkowym. |
| Obliczona różnica | Obliczana jest różnica liniowa. | Obliczane jest nachylenie wykresu w określonym punkcie. |
| Relacja | Równania różniczkowe wykorzystują pochodne, aby dojść do ostatecznych rozwiązań. Pochodne zawarte są w równaniach różniczkowych. | Pochodne po prostu oznaczają tempo zmian zmiennej zależnej w stosunku do zmiennej niezależnej. |
| Konotacje funkcjonalne | Konotacje funkcjonalne między zmiennymi są nieznane | Znane są konotacje funkcjonalne między zmiennymi. |
| Reprezentowane przez | Równania różniczkowe są reprezentowane przez wiele wzorów. Jednym z najczęściej używanych jest: dy/dx = f(x) | Istnieją różne stopnie pochodnych o różnych formułach reprezentacji. Najczęściej używaną formą reprezentacji pochodnej jest: d /dx |
Co to jest różnica?
Jako poddziedzina rachunku różniczkowego równania różniczkowe reprezentują nieskończenie małą różnicę w pewnych zmiennych wielkościach. Równania różniczkowe zawierają pochodne i ich funkcje. Różnice mierzą liniową trajektorię zmiany zmiennej zależnej w wyniku zmiany wielkości zmiennej niezależnej.
Istnieje kilka różnych rodzajów równań różniczkowych o różnych rzędach i stopniach złożoności matematycznej. Równania różniczkowe służą do opisu ruchu fal upałów, zmiany liczby ludności, rozpadu materiału radioaktywnego, ruchu elektryczności, ruchu wahadła itp.
Zasadniczo równania różniczkowe oznaczają związek między dwiema zmiennymi, w którym zmiana jednej zmiennej jest wywoływana przez zmianę wytworzoną w drugiej. Jest to narzędzie metodologiczne służące do obliczania pochodnych funkcji. Jest to więc równanie reprezentatywne. Równania różniczkowe są często przedstawiane jako:
Gdzie b jest zmienną zależną, a zmienną niezależną.
Co to jest instrument pochodny?
Mówiąc najprościej, pochodne odnoszą się do tempa zmian zmiennych, gdy zmiana jest rejestrowana w zmiennej niezależnej, a odpowiadająca jej zmiana jest wytwarzana w zmiennej zależnej. W związku z tym podkreśla zmianę wyjścia spowodowaną zmianą wartości wejściowej.
Pochodne są najczęściej używane z równaniami różniczkowymi. Różnicowanie to proces używany do znajdowania pochodnych. Służą do oznaczania nachylenia linii stycznej. W danym okresie pochodne mierzą stromość nachylenia funkcji.
Podobnie jak dyferencjały, pochodne mogą być również klasyfikowane jako pochodne pierwszego i drugiego rzędu. Podczas gdy to pierwsze można bezpośrednio przewidzieć na podstawie nachylenia linii, to drugie uwzględnia wklęsłość wykresu.
Stanowią ważną część obliczeń matematycznych. Często nachylenie jest przedstawiane jako:
d/dx
Na przykład wyprowadzenie definiuje się jako tempo zmiany b względem a. Ta zależność jest wyrażona jako b= f(a), gdzie b jest funkcją a. Wartość tej funkcji tworzy nachylenie f(a). Pochodne są często używane przez naukowców w równaniach różniczkowych do pomiaru zmian wartości zmiennych, aby móc zwięźle przewidzieć zachowanie zmieniających się systemów.
Główne różnice między różniczkami a pochodnymi
- Główna różnica między różniczkami a pochodnymi dotyczy ich definicji, które w ten sposób wpływają na ich funkcjonalność w sferze matematycznej. Pierwsza jest subdziedziną rachunku różniczkowego, która kojarzy się z nieskończenie małą różnicą w pewnej zmiennej wielkości. Z drugiej strony pochodne odnoszą się do zmiany wartości wyjściowej spowodowanej odpowiednią zmianą wartości wejściowej. Koncentruje się na tempie tej zmiany.
- Równania różniczkowe zawierają pochodne lub funkcje pochodnych. Natomiast pochodne po prostu odnoszą się do natychmiastowej zmiany, która następuje wraz ze zmianą zmiennej niezależnej, która powoduje odpowiednią zmianę wartości zmiennej zależnej.
- Konotacja funkcjonalna między zmienną zależną i niezależną jest znana w przypadku pochodnej i nieznana w przypadku różniczki. Stanowi to kolejną ważną różnicę między tymi dwoma pojęciami matematycznymi.
- Wzory równania różniczkowego i pochodnego są również znacząco różne. dy/dx = f(x) reprezentuje pierwszą, gdzie y jest zmienną zależną, a x zmienną niezależną. Instrumenty pochodne są reprezentowane przez d/dx.
- Różnice reprezentują zmianę wartości rzeczywistej za pomocą mapy liniowej, podczas gdy pochodne reprezentują tę samą zmianę za pomocą mapy nachylenia. Pochodne obliczają nachylenie funkcji na wykresie w dowolnym momencie.
Wniosek
Zarówno różniczki, jak i pochodne są przełomowymi pojęciami matematycznymi, które są niezbędne w zastosowaniu i badaniu złożonych problemów matematycznych. Oba są często używane w połączeniu ze sobą i często mogą być błędnie interpretowane, jeśli ich znaczenie lub funkcje pozostają niejasne.
Różnice między tymi dwoma pojęciami są minimalne, ale jednocześnie ważne, aby je poznać. Te dwie koncepcje różnią się pod względem implementacji i wykorzystania w równaniach. Podczas gdy równanie różniczkowe zawiera pochodne lub funkcje pochodnych, pochodne są miarą natychmiastowej zmiany zachodzącej w zmiennej zależnej, która jest wyzwalana przez odpowiednią zmianę zmiennej niezależnej.
Różnice reprezentują relację istniejącą między dwiema zmiennymi. Używają pochodnych, aby jasno zdefiniować tę zależność i zmierzyć nieskończenie małe zmiany.
Reprezentacja każdego z nich znacznie się różni. Co więcej, dyferencjały odwzorowują zmiany wartości rzeczywistej poprzez odwzorowanie liniowe, podczas gdy pochodne odwzorowują nachylenie zmiany. Każda koncepcja zawiera również istotne, zmienne formy.
Bibliografia
- https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
