Przekrój stożkowy to krzywa uzyskana, gdy płaszczyzna przecina stożek pod określonym kątem. Istnieją trzy rodzaje przekrojów stożkowych – elipsa, parabola i hiperbola.
Elipsa to płaska krzywa, która ma dwa ogniska i przypomina nieco okrąg. Jednak parabola i hiperbola to mylące sekcje.
Parabola kontra hiperbola
Różnica między parabolą a hiperbolą polega na tym, że parabola jest pojedynczą krzywą otwartą z mimośrodem, podczas gdy hiperbola ma dwie krzywe z mimośrodem większym niż jeden.
Parabola to pojedyncza otwarta krzywa, która rozciąga się do nieskończoności. Ma kształt litery U i ma jedno ognisko i jedną kierownicę.
Hiperbola to otwarta krzywa mająca dwie niepołączone gałęzie. Posiada dwa ogniska i dwie dyrekcje, po jednym dla każdego oddziału.
Tabela porównawcza między parabolą a hiperbolą (w formie tabelarycznej)
| Parametr porównania | Parabola | Hiperbola |
|---|---|---|
| Definicja | Parabola to umiejscowienie punktów znajdujących się w równej odległości od ogniska i kierownicy. | Hiperbola to umiejscowienie punktów, które mają stałą różnicę w stosunku do dwóch ognisk. |
| Kształt | Parabola jest otwartą krzywą, która ma jedno ognisko i jedną kierownicę. | Hiperbola jest otwartą krzywą z dwiema gałęziami, która ma dwa ogniska i dwa kierunki. |
| Ekscentryczność | Jedną z nich jest nieujemna ekscentryczność paraboli. | Nieujemny mimośród e hiperboli jest większy niż jeden. |
| Przecięcie płaszczyzny | Przecięcie płaszczyzny jest równoległe (przypadek idealny) do wysokości skosu stożka. | Przecięcie płaszczyzny jest równoległe (przypadek idealny) do prostopadłej wysokości podwójnego stożka. |
| Równanie ogólne | Ogólne równanie paraboli to y = ax², a ≠ 0 | Ogólne równanie hiperboli to x²/a² – y²/b² = 1 |
Co to jest parabola?
Parabola to miejsce wszystkich punktów, które są w równej odległości od punktu i prostej. Ten punkt nazywa się ogniskiem, a ta linia nazywa się kierownicą.
Parabola powstaje, gdy płaszczyzna przecina stożek w kierunku równoległym (przypadek idealny) do jego skośnej wysokości.
Ogólne równanie paraboli jest podane jako
y = ax², a ≠ 0
Wartość a określa kształt krzywej.
Jeśli a > 0, otwór paraboli otwiera się do góry.
Jeśli a < 0, otwór paraboli otwiera się do dołu.
W centrum powyższej paraboli jest (0, 1/4a). Kierownica to (-1/4a).
Jednak gdy a=1, parabola nazywana jest parabolą jednostkową.
Parabola ma ekscentryczność jednego.
Parabola jest symetryczna względem swojej osi. W nieskończonej odległości krzywe wyglądają jak równoległe linie.
Co to jest hiperbola?
Hiperbola to miejsce wszystkich punktów, które mają stałą różnicę w stosunku do dwóch różnych punktów. Punkty te nazywane są ogniskami hiperboli.
Hiperbola powstaje, gdy pełna płaszczyzna przecina stożek w kierunku równoległym do jego prostopadłej wysokości.
Ogólne równanie hiperboli jest podane jako
(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1
Ogniska powyższej hiperboli to (α ± sqrt(a²+b²), β).
Wierzchołkami są (±a, β).
Hiperbola ma ekscentryczność większą niż jeden.
Hiperbola ma dwie osie symetrii. Są to oś poprzeczna i oś sprzężona.
Główne różnice między parabolą a hiperbolą
Parabola i hiperbola to przekroje stożkowe. Mają różne kształty i właściwości.
Główne różnice między nimi to:
Wniosek
Przekroje stożkowe składają się z elipsy, paraboli i hiperboli. Nazywa się je przekrojami stożkowymi, ponieważ wywodzą się z przecięcia stożka z płaszczyzną. Parabole to pojedyncza nieskończona krzywa. Stanowią one umiejscowienie punktów równoodległych od ogniska i kierownicy.
Hiperbole to krzywe z dwoma rozgałęzieniami. Są to miejsca punktów, które mają stałą różnicę odległości od dwóch ognisk. Różnica polega na ich ekscentryczności. Parabole mają ekscentryczność jeden, podczas gdy hiperbole mają ekscentryczność większą niż jeden.
Parabole mają różne zastosowania w prawdziwym życiu. Wykorzystywane są w architekturze, inżynierii, projektowaniu statków kosmicznych, reflektorach i filmach holograficznych. Hiperbole są popularne w inżynierii radiowej, projektowaniu satelitów, soczewkach, komputerach i zegarach słonecznych. W rzeczywistości nasz wszechświat ma postać hiperboli.
